Кривизна пространства-времени

  • Кривизна пространства-времени. Замедление хода часов в гравитационном поле.
  • Евклидово и неевклидово пространство.
  • Гауссовы координаты. Метрический тензор. Геодезические.
  • Кривизна. Поверхности нулевой, положительной и отрицательной кривизны. Кривизна пространства-времени в гравитационном поле Земли.

 

Кривизна пространства-времени

Из гравитационного красного смещения следует кривизна пространства-времени. Чтобы показать это, рассмотрим двух наблюдателей, один из которых покоится на поверхности Земли на высоте z1, а другой над поверхностью Земли на высотеz2 = z1+H.

Рис. 1. Два наблюдателя обмениваются электромагнитными импульсами.

 

Наблюдатели, используя радиолокацию, могут убедиться, что они покоятся, как по отношению друг к другу, так и по отношению к Земле.

Пусть теперь нижний наблюдатель испускает электромагнитный сигнал фиксированной стандартной частоты ωнижн, принимаемый верхним наблюдателем. Для определенности положим, что сигнал представляет собой импульс, содержащий точно N колебаний.

Рис. 2. Импульс, посланный нижним наблюдателем.

 

Тогда интервал времени δτнижн, в течение которого испускается импульс, задается выражением

 

2π N = ωнижнδτнижн   .(1)

 

Верхний наблюдатель должен принять те же N колебаний электромагнитного волнового импульса и измерить время δτверхн, которое для этого требуется. Согласно определению частоты, имеем

 

2π N = ωверхнδτверхн   .(2)

 

Эффект красного смещения, установленный экспериментально, свидетельствует о том, что

 

ωверхн < ωнижн ,(3)

 

а следовательно, интервалы времени имеют разную длительность

 

δτверхн > δτнижн  .(4)

 

Перенесем теперь эту информацию на пространственно-временную диаграмму, описывающую этот эксперимент с точки зрения специальной теории относительности. Электромагнитные волны есть не что иное, как лучи света, поэтому их распространение на пространственно-временном чертеже можно изобразить нулевыми линиями, наклоненными под углом 45° к осям системы координат.

Рис. 3. Пространственно-временная диаграмма.

 

В таком упрощенном (и не совсем верном) варианте доказательства мы приходим к противоречию, замечая, что получили параллелограмм в пространстве-времени Минковского с двумя противоположными ребрами, которые не равны друг другу (τверхн > τнижн), тогда как в плоском пространстве-времени противоположные стороны параллелограмма должны быть всегда равны друг другу. Отсюда вытекает, что

специальная теория относительности не может быть справедлива в достаточно протяженной области при наличии гравитационного поля.

Глобально пространство-время перестает быть плоским, о чем свидетельствуют траектории лучей света, хотя локально физика прекрасно описывается плоской геометрией Лоренца-Минковского.

Гравитационное поле искривляет не только пространство-время Минковского. Оно искривляет и наше 3-х мерное евклидово пространство (привычное нам из школьной геометрии). Приведем простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости пространства при переходе к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, одна из которых (K) — инерциальная, а другая (K') — равномерно вращается относительно K вокруг общей оси z. Наблюдатель, который сидит не в самом центре диска K', подвергается действию силы, направленной радиально от центра. С точки зрения наблюдателя в инерциальной системе отсчета K это есть не что иное как центробежная сила инерции. Однако наблюдатель, неподвижный относительно системы K', считает эту силу действием гравитационного поля.

Окружность в плоскости xy системы K (с центром в начале координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости x'y' системы K'. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштабной линейкой в системе K, мы получим значения, отношение которых равно π, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета.

Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно K' масштабом. Наблюдая за этим процессом из системы K, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное наблюдателем K' в результате такого измерения, окажется больше π. Тем самым доказано, что положения геометрии Евклида не могут точно выполняться на вращающемся диске и, таким образом, согласно принципу эквивалентности, вообще в гравитационном поле, по крайней мере, когда масштабу во всех точках и при всех ориентациях приписывается одна и та же длина.

 

Замедление хода часов в гравитационном поле

Условие (4) можно также рассматривать как следствие того, что время в гравитационном поле течет по-разному в разных точках пространства. Для наблюдателя, находящегося на Земле, время течет медленнее, чем для наблюдателя, находящегося на вершине башни. Согласно полученному нами соотношению

 

ωнижнδτнижн = ωверхнδτверхн .(5)

 

Отсюда получаем

 

\frac{\delta\tau_{нижн}}{\delta\tau_{верхн}} = \frac{\omega_{верхн}}{\omega_{нижн}} .(6)

 

Но, согласно опытам по красному смещению,

 

\frac{\omega_{верхн}}{\omega_{нижн}} = 1 - \frac{gH}{c^2} .(7)

 

Поэтому

 

\delta\tau_{нижн}=\delta\tau_{верхн}\left(1-\frac{gH}{c^2} \right) .(8)

 

Помня, что H = z2z1, мы можем записать

 

\delta\tau(z_1)=\delta\tau(z_2)\left[1-\frac{g(z_2-z_1)}{c^2} \right] ,(9)

 

или с той же точностью (поскольку gH/c2<< 1)

 

\delta\tau(z_1) = \delta\tau(z_2)\displaystyle \frac{\displaystyle 1+\frac{gz_1}{c^2}}{\displaystyle 1+\frac{gz_2}{c^2}} ,(10)

 

что эквивалентно

 

\frac{\delta\tau(z_1)}{\displaystyle 1+\frac{gz_1}{c^2}} = \frac{\delta\tau(z_2)}{\displaystyle 1+\frac{gz_2}{c^2}} = const(z)\equiv \delta t_0 .(11)

 

Эта константа в общей теории относительности называется промежутком мирового времени. Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле состоит в том, что его промежуток между двумя событиями в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком между любыми другими двумя событиями в любой другой точке пространства, соответственно одновременными  1 с первой парой событий.

Если теперь мы введем в рассмотрение гравитационный потенциал по формуле

 

φ = –g·r = gz(12)

 

(так, чтобы g = –grad φ), то мы можем записать следующее соотношение для связи собственного времени с мировым

 

\tau=t_0\left(1+\frac{\varphi}{c^2} \right) .(13)

 

Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем меньше гравитационный потенциал в данной точке пространства. Иными словами, если из двух одинаковых часов одни находились некоторое время в гравитационном поле, то после этого часы бывшие в поле окажутся отставшими.

Эффект замедления времени в гравитационном поле можно еще пояснить на примере уже знакомой нам вращающейся системы отсчета. Представим себе пару синхронизированных часов, одни из которых покоятся в системе K, а другие, такой же конструкции, связаны с радиусом вращающегося диска, неподвижного относительно системы K'. При сравнении показаний часов, связанных с диском, и часов, покоящихся в системе K, окажется (в полном соответствие с результатами СТО), что часы диска идут медленнее, чем часы системы K, причем разность хода возрастает по мере удаления вращающихся часов от оси вращения (от центра). Только часы, расположенные в центре вращающегося диска, идут синхронно с часами системы K, поскольку эти часы имеют нулевую скорость относительно системы K. Таким образом, из нескольких часов, расположенных по радиусу диска в системе отсчета K', медленнее всего идут часы, которые больше всего удалены от центра диска. С точки зрения наблюдателя во вращающейся системе отсчета это естественно, так как там больше всего гравитационное поле. Этот пример приводит нас также к выводу о невозможности синхронизации часов во всем пространстве в инерциальной системе отсчета при наличии в ней гравитационного поля.

Частоту света в гравитационном поле тоже можно выразить через гравитационный потенциал

 

\omega=\omega_0\left(1-\frac{\varphi}{c^2} \right) .(14)

 

Напомним, что все эти формулы применимы к слабым гравитационным полям, для которых

 

\frac{\varphi}{c^2}\ll 1 .(15)

 

Замедление времени в гравитационном поле было проверено группой американских физиков из Мэрилендского университета. Измерялась разность показаний атомных часов на самолете и в наземной лаборатории. Самолет курсировал на высоте 10 км с небольшой скоростью порядка 400 км/час, чтобы уменьшить кинематический эффект замедления времени. Время полета было около 14 часов. В соответствии с предсказаниями ОТО за счет разности гравитационных потенциалов самолетные часы должны были уйти вперед на ≈ 50 нсек. А в соответствии со СТО они должны были отстать на 5 нсек. Эксперимент показал, что часы на самолете ушли вперед на45± 0,7 нсек.

 

Евклидово и неевклидово пространство. Гауссовы координаты

Потерпев крах в применении евклидовой геометрии к неинерциальной системе отсчета, давайте задумаемся над вопросом, что такое геометрия вообще и для чего она нужна. Наиболее короткий и правильный ответ на этот вопрос:

геометрия нужна прежде всего для определения взаимного местоположения точек в пространстве. Правила, как это сделать в каждом конкретном случае, и составляют саму науку геометрию.

Здесь под пространством мы не обязательно имеем в виду наше трехмерное пространство. Это может быть двумерное или четырехмерное пространство (например, Минковского). Оказывается, что в любом пространстве размерности n≥ 2 задача построения геометрии без наперед заданного аппарата прямых линий и соответствующей им евклидовой системы аксиом и теорем может быть успешно решена.

Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающей его местности. В распоряжении нашего землемера имеется только измерительная рулетка. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы.

Говоря абстрактно, землемер может пользоваться методами обычной евклидовой геометрии в небольших областях. Но эти методы оказываются неприменимыми ко всему земельному участку как целому. Такой участок можно геометрически изучить лишь шаг за шагом, переходя от одного элемента к другому. Более того, евклидова геометрия в глобальном смысле, строго говоря, неприменима на холмистых участках: на такой поверхности не существует прямых линий вообще. Короткую ленту линейки можно считать прямой, но не существует прямой линии (лежащей на поверхности), соединяющей все точки поверхности от долины до долины или от холма до холма. Евклидова геометрия, таким образом, в определенном смысле верна лишь для малых, или инфинитезимальных областей, тогда как в более обширных областях действуют более общие представления о пространстве или, вернее, о поверхности.

Если землемер решил действовать систематически, он сначала покроет лесистую поверхность сетью линий, помечая их колышками или "привязывая" к определенным деревьям. Ему понадобится два пересекающихся семейства линий.

Рис. 4. Гауссова система координат.

 

Линии будут выбраны по возможности гладкими и непрерывно искривленными, а в рамках каждого семейства будут последовательно перенумерованными. Возьмем ξ в качестве символического обозначения любого члена одного семейства, а η — любого члена другого семейства.

Каждую точку пересечения тогда будут характеризовать два числа ξ и η, скажем, ξ = 3и η = 5. Все промежуточные точки можно характеризовать дробными значениями ξ и η. Этот способ определения точек искривленной поверхности впервые использовал Гаусс, поэтому ξ и η называют гауссовыми координатами. Самая характерная черта гауссова метода состоит в том, что ξ и η не означают ни длин ни углов, ни каких-либо других измеримых геометрических величин, а являются просто числами, как в американском способе обозначения улиц и домов.

Задача определения единичной меры в этом исчислении точек на участке полностью ложится на землемера. Длина его рулетки определяет область, соответствующую одной ячейке в сетке гауссовых координат.

Теперь землемер может обмерять ячейку за ячейкой. Каждую из этих ячеек можно рассматривать как малый параллелограмм;  2 она полностью определена, как только две прилегающие стороны и угол между ними известны. Землемер должен обмерить каждую из этих ячеек и затем нанести ее на свою карту. Проделав эту процедуру для всей координатной сетки, он, очевидно, получит исчерпывающие сведения о геометрии участка на своей карте.

Вместо трех чисел для каждой ячейки (две стороны и угол) общепринято пользоваться другим способом определения мер, преимущество которого состоит в том, что он более симметричен.

Рассмотрим одну из ячеек — параллелограм, стороны которого соответствуют двум следующим друг за другом номерам (скажем ξ = 3, ξ = 4 и η = 7, η = 8; см. рис. 5).

Рис. 5. Определение расстояния в пределах одной ячейки.

 

Пусть P — некоторая точка внутри этой ячейки, а S — ее расстояние от точки O, лежащей в вершине угла, образованного координатными линиями с меньшими номерами. Это расстояние определяется с помощью измерительной рулетки. Проведем через точку P параллели к двум координатным линиям: эти параллели пересекают координатные линии в точках A и B.

Точкам A и B при этом также соответствуют числа, или гауссовы координаты в рамках нашей координатной сетки. Так, точка A имеет координаты (ξ+Δξη), а точка Bкоординаты (ξη+Δη), где (ξη) — это координаты точки O. Приращения гауссовых координат Δξ и Δη можно определить, скажем, измерив стороны параллелограмма, на которых лежат точки A и B, и расстояния OA и OB, а потом найдя отношение этих величин к сторонам параллелограмма. Поскольку наш параллелограмм образован линиями отличающимися своими гауссовыми координатами на единицу, то приращенияΔξ и Δη как раз и будут равны этим отношениям. Иными словами, они показывают, в каком отношении точки A и B делят соответствующие стороны параллелограмма.

Истинное расстояние OA равно, конечно, не Δξ, а, скажем, aΔξ, где a — определенная величина, которую нужно найти посредством измерения. Точно так же истинная длинаOB равна не Δη, а некоторому bΔη. Если передвигать тоску P, то ее гауссовы координаты будут меняться; числа же a и b, определяющие отношение гауссовых координат к истинным длинам, остаются неизменными в пределах одной ячейки.

Найдем теперь расстояние OP = Δ L. По теореме о косинусах

 

Δ L2 = OA2+2 OA· OBcosα + OB2 ,(16)

 

где α — угол при вершине параллелограмма O. Переписывая это выражение через Δξ иΔη, получим

 

Δ L2 = a2Δξ2 + 2abcosα  ΔξΔη + b2Δη2 .(17)

 

Коэффициенты пропорциональности ab и угол α, вообще говоря, меняются от ячейки к ячейке, т.е. они являются некоторыми функциями величин ξ и η — координат вершины O. Общепринято обозначать три множителя в уравнении (17) несколько иным способом, а именно

 

Δ L2 = g11Δξ2 + 2g12ΔξΔη + g22 Δη2 .(18)

 

Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в гауссовых координатах.

Три величины g11g12g22 могут служить так же, как две стороны и угол для определения расстояний и положений точек в пределах параллелограмма. Поэтому их называют метрическими коэффициентами, а про выражение (18) говорят, что оно определяет метрику поверхности. Значения метрических коэффициентов изменяются от ячейки к ячейке, что следует либо отметить на карте, либо дать в форме математической функции от ξη — гауссовых координат точки O:

 

g11(ξη) ,      g12(ξη) ,     g22(ξη) .(19)

 

Если эти функции известны, то с помощью формулы (18) можно вычислить истинное расстояние от начала координат до любой точки P, лежащей в любой ячейке, коль скоро гауссовы координаты ξη точки O известны.

Таким образом, метрические коэффициенты определяют всю геометрию поверхности.

 

 

Геодезические линии и кривизна

На кривой поверхности существуют не прямые линии, а наиболее прямые; они же образуют и кратчайшие соединения между парами точек. Их математическое название — геодезические линии. Например, на сферической поверхности — геодезическими являются окружности большого круга. Эти окружности вырезаются плоскостями, проходящими через центр сферы.

Рис. 6. Метрика на сфере.

 

В качестве двух гауссовых координат на сфере можно взять два угла, полярный угол θи азимутальный угол φ. Обозначая радиус сферы через r, метрику на сфере можно представить в виде

 

dL2 = r2sin2θ  2 + r2 2 .(20)

 

Это соответствует общей формуле (18) c метрическими коэффициентами

 

g11 = r2sin2θ ,      g22 = r2,      g12 = 0 .(21)

 

Равенство нулю компоненты g12 означает ортогональность этой системы координат.  3

Рис. 7. Тор.

 

На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые; тем не менее в рамках этой поверхности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геометрии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас евклидовой геометрии на плоскости.

Другое фундаментальное свойство поверхности — ее кривизна. Ее обычно определяют с помощью третьего пространственного измерения. Кривизна сферы, например, измеряется через ее радиус, именно как расстояние от точки на поверхности до центра сферы, который, разумеется, лежит вне самой сферической поверхности.

Землемер в лесистой области, конечно, не смог бы использовать это определение кривизны. Он не может перемещаться в точки, лежащие вне поверхности, поэтому должен попытаться определить кривизну с помощью только своей измерительной рулетки. Гаусс доказал, что это действительно возможно. Покажем здесь, как это делается на сфере.

Для этого возьмем три точки на поверхности сферы ab и c и соединим их геодезическими линиями.

Рис. 8. Сумма внутренних углов треугольника на сфере больше π.

 

В результате получится треугольник, изображенный на рис. 8. Сумма углов этого треугольника оказывается больше, чем π (т.е. 180°). Это следствие выпуклости сферы. Чем больше треугольник, тем больше отличие суммы углов треугольника Σ от π. Можем ли мы по этому отличию определить степень искривленности сферы — вычислить ее радиус? Оказывается, да. Для этого надо поделить разность Σ – π на площадь треугольника SΔ

 

\frac{\Sigma-\pi}{S_{\Delta}} = \frac{1}{R^2}\equiv C .(22)

 

Полученная величина оказывается равной 1/R2, где R — радиус сферы. Ее называют кривизной и обозначают C.

В случае любой искривленной поверхности ее кривизну определяют аналогичным образом. В общем случае поверхность может быть искривлена по-разному в разных точках. Поэтому для определения кривизны в данном месте треугольники надо выбирать бесконечно малыми. Для сферы определенная таким образом кривизна оказалась положительной. Однако существуют поверхности с отрицательной кривизной. Примером такой поверхности является седлообразная поверхность; рис. 9.

Рис. 9. Седло — поверхность отрицательной кривизны.

 

На такой седлообразной поверхности сумма углов треугольника меньше π, значит,

 

C=\frac{\Sigma-\pi}{S_{\Delta}} < 0 ,(23)

 

т.е. кривизна отрицательна.  4

Кстати, о кривизне поверхности можно судить и по отношению длины окружности к ее радиусу. На сфере это отношение меньше 2π, а на седлообразной поверхности — больше, чем 2π.

В общем случае кривизна характеризуется тензором 4-ранга Riklm — тензором кривизны, который может быть выражен через метрический тензор gαβ. Не все компоненты тензора кривизны независимы. Так, для пространства 2-х измерений из 16 компонент тензора Riklm только одна компонента тензора независима — R1212.

В трехмерном пространстве кривизна в каждой точке характеризуется 3 величинами (6 независимых компонент тензора Riklm + выбор системы координат). В четырехмерном пространстве тензор кривизны имеет 20 независимых компонент, и в каждой точке кривизна 4-х мерного пространства характеризуется 14 величинами (за счет специального выбора системы координат).

 

Кривизна пространства-времени в гравитационном поле Земли

Как можно измерить кривизну пространства-времени, обусловленную гравитационным полем Земли? Обсудим этот вопрос на примере траекторий мяча и пули, изображенных на рис. 10.

Рис. 10. Траектории мяча и поли в поле тяжести Земли.

 

На первый взгляд кривизна обеих траекторий сильно различается. И это действительно так, если идет речь о кривизне траекторий в обычном пространстве. Однако в теории относительности речь идет о кривизне пространства-времени. Поэтому нам надо и изобразить эти траектории в пространстве-времени, см. рис. 11.

Рис. 11. Траектории мяча и пули в пространстве-времени.

 

Согласно известным формулам, время полета связано с высотой подъема следующим образом:

 

t=2\sqrt{\frac{2h}{g}},(24)

 

где g — ускорение свободного падения. Поэтому для пули tп = 2· 10–2 сек, а для мячаtм = 2 сек. Свет за это время проходит соответственно 6· 108 см и 6· 1010 см, что и показано на рис. 11.

Эти расстояния намного превышают значение 10 м — x координат мяча и пули после приземления. Следовательно, на плоскости (xct) расстояния, проходимые пулей и мячом, равны соответственно

 

lп ≈ 6· 108 см ,       lп ≈ 6· 1010 см.(25)

 

Очевидно, что вторым катетом в 10 м можно пренебречь.

Теперь вычисление радиуса кривизны можно произвести по формуле (см. рис. 12)

 

r=\frac{l^2}{8h} ,(26)

 

справедливой для малых дуг окружностей (выведите эту формулу самостоятельно).

Рис. 12. Определение радиуса кривизны.

 

Подставляя все величины, получаем для радиусов кривизны

 

rп = rм≈ 1018 см = 1013 км≈   1  световой год .(27)

 

Таким образом, радиусы кривизны траекторий пули и мяча в пространстве-времени действительно равны и составляют огромную величину в 1 световой год (что в 70 тыс. раз больше расстояния от Земли до Солнца).

Нетрудно догадаться, откуда берется это число. На поверхности Земли гравитационные эффекты полностью определяются ускорением свободного падения g≈ 103 см/сек2. Из этой величины и скорости света c можно составить лишь одну комбинацию, имеющую размерность длины

 

r=\frac{c^2}{g}= c\cdot \frac{c}{g} \approx c\cdot \underbrace{3\cdot 10^7 {\rm сек}}_{\approx 1 {\rm год}} \approx 1 {\rm св. год} .(28)

 

Она как раз и равна 1 световому году.


1 Синхронизацию часов в гравитационном поле в двух бесконечно близких точках пространства можно осуществить обычным образом путем обмена световыми сигналами.

2 Это связано с тем, что линии сетки, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поэтому в пределе бесконечно малого расстояния между ними они должны быть параллельными.

3 В качестве упражнения найдите метрику тора;

4 Покажите, что кривизна поверхности цилиндра равна нулю.

Университет Йоффе. Лекция

Рубрика: